The Swiss engineering master's degree

Grundlagen der theoretischen und numerischen Behandlung für die Ingenieurwissenschaften relevanter, partieller Differentialgleichungen.

Eintrittskompetenzen

Der Kurs vertieft und verbindet aus dem Bachelor-Studium bekannte mathematische Theorien, insbesondere die Lineare Algebra, Analysis und die Numerik. Entsprechende Kenntnisse werden vorausgesetzt, genauer:

Lineare Algebra: Gleichungssysteme, Matrizen, numerische Verfahren

Analysis: partielle Ableitungen, Gradient, Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung, lineare Differentialgleichungen, separierbare Differentialgleichungen, Begriff der Fourier- Reihe

Lernziele

Die Studierenden kennen die grundlegenden geometrischen, analytischen und numerischen Aspekte partieller Differentialgleichungen und besitzen einerseits das elementare Rüstzeug zum erfolgreichen Umgang mit partiellen Differentialgleichungen im Engineering-Umfeld und andererseits eine Sammlung von Leitbeispielen, welche eine Vertiefung der Theorie erleichtert.

Modulkategorie

Teil 1: Allgemeine Theorie

Ziele von Teil 1:

• Verstehen wie partielle Differentialgleichungen auf natürliche Weise in Anwendungen auftreten
• Einige wichtige Beispiele von partiellen Differentialgleichungen mit der Separationsmethode lösen können.
• Verstehen, welche Arten von Randbedingungen nötig sind, um die Eindeutigkeit der Lösungen zu garantieren. Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen.
• Eine Sammlung von partiellen Differentialgleichungen bereitstellen, die theoretischen Prinzipien illustrieren.

Lektionenplan für Teil 1:

1. Von gewöhnlichen zu partiellen Differentialgleichungen: drei angewandte Beispiele: Wellengleichung, Laplace-Gleichung und Wärmeleitungsgleichung.
2. Quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lösung mit Charakteristiken
3. Lösung partieller Differentialgleichungen mit der Separationsmethode
4. Lösung partieller Differentialgleichungen mit Laplace- und Fourier-Transformation
5. Elliptische partielle Differentialgleichung am Beispiel Laplace-Gleichung, Poisson-Formel, Maximum-Prinzip, Eindeutigkeit der Lösung.
6. Parabolische partielle Differentialgleichungen am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung, Maximum-Prinzip, Kernfunktion, Greensche Funktion
7. Hyperbolische Differentialgleichungen am Beispiel der Wellengleichung, d'Alembert-Lösungen, Methode der Charakteristiken.

Teil 2: Numerik partieller Differentialgleichungen

1. Analyse von Finite Differenzen Methoden am Exempel Zweipunktrandwertproblem:
   • Konditionsanalyse
   • Stabilitätsanalyse
   • Konvergenzanalyse
   Analyse von Finite Differenzen Methoden am Modellproblem Transportgleichung. Ziel ist die Veranschaulichung einiger zentraler Ideen und Begriffe der Analyse numerischer Verfahren im Allgemeinen und finiter Differenzen im Besonderen.
2. Finite Volumen Methoden am Modellproblem Poisson-Gleichung:
   • Beispiel eines zellenzentrierten finiten Volumen-Differenzenverfahrens
   • Beispiel eines knotenzentrierten finiten Volumen-Elementverfahrens
   • Exemplarisches zu Navier-Stokes
   Randelementmethode am Modellproblem Laplace-Gleichung. Ziel ist die Schaffung einer Sammlung von numerischen Methoden, welche die Breite der Approximationsansätze veranschaulicht.
3. Finite Elemente Methode am Modellproblem Stationäre Wärmeleitung:
   • Differentielle, variationelle und integrale Formulierungen
   • Globale und lokale Ansatzfunktionen
   • Elemente und Elementtypen
4. Eine generelle Sichtweise: gewichtete Residuen.
   Ziel ist eine konzise Einführung in die Methodik finiter Elemente.
5. Die Problematiken Finiter Elemente Methoden am Modellproblem Balkengleichung:
   Hierzu einige Lösungsstrategien und deren numerischer Hintergrund:
   • p-Strategien
   • h-Strategien
   • r-Strategien
   Exemplarische Einführung in die Schrittweitensteuerung.
   Ziel ist die Veranschaulichung der Grenzen der Methodik finiter Elemente.
6. Finite Elemente Methode am Modellproblem Instationäre Wärmeleitung:
   • Semidiskrete Schemata
   • Vollständig Diskrete Schemata
7. Eigenwertbestimmung durch Finite Elemente am Modellproblem Balkenschwingungsgleichung.
   Ziel ist die Darstellung weiterer Anwendungsgebiete der Finiten Elemente Methode.

Dieses Modul hat nicht zum Ziel, die Benutzung oder Anwendung irgendeiner Software zur Behandlung partieller Differentialgleichungen zu vermitteln. Vielmehr geht es darum, die Grundlagen zu deren erfolgreichem Einsatz zu lehren. Die Studierenden sollen in die Lage versetzt werden, die verschiedenen Möglichkeiten einer solchen Software und ihre Konsequenzen für die Zuverlässigkeit und Genauigkeit der gefunden Lösung zu verstehen.

Lehr- und Lernmethoden

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Bibliografie

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